De Vantieghem-Functie

Deze functie is een illustratie van het feit dat een functie niet continu hoeft te zijn om toch integreerbaar te zijn. Deze functie is zelfs overal discontinu, maar toch integreerbaar, en de integraal over [0,1] is gelijk aan 0. Dit kan makkelijk intuïtief ingezien worden: er is nergens een opeenvolging van twee punten die een functiewaarde groter dan 0 hebben, omdat tussen elk paar rationale getallen altijd nog een irrationaal getal gevonden kan worden, en andersom, en alle irrationale getallen hebben functiewaarde 0. De grafiek bestaat dus eigenlijk uit een oneindige verzameling oneindig dunne staafjes, en de oppervlakte van elk 'staafje' is 0 aangezien een punt geen dimensies heeft. De som van al die oppervlakten blijft natuurlijk dan ook 0.
Een strikt wiskundig bewijs is volgens mij heel wat moeilijker en laat ik over aan de liefhebbers.

Het voorschrift luidt als volgt:

het domein van f(x) is [0,1]

f(x) = 0  als x geen rationaal getal is (dus ℝ\ℚ)
f(x) = 1/n  als x een element is van ℚ
waarbij je x als een breuk moet schrijven, de breuk vereenvoudigen tot t/n en vervolgens de teller vervangen door 1. Het aldus bekomen getal is de functiewaarde.

Hier volgen enkele "plots" van deze functie, over het interval [0,1]. Deze zijn niet geplot door zomaar het bovenstaande "recept" toe te passen op een reeks functiewaarden tussen 0 en 1, maar met een iteratief algoritme.

Klik op een tekening voor een grotere versie. Je kan ermee doen wat je wil, bv. afprinten en de muur mee behangen, of gewoon mensen met een allergie voor Analyse op afstand houden. Er zijn twee versies: de eerste is de functie zoals ze er werkelijk uitziet. Bij de tweede werd elk punt van de functie verbonden met de x-as, voor een duidelijker resultaat.

P.S.: voor de mensen die geen Voorbereidend jaar gevolgd hebben aan de K.U.L.: "Vantieghem-functie" is niet de officiële naam van deze functie (voor zover er een officiële naam bestaat).

Grafiek 1: Normaal (klik voor een grotere versie); GIF-formaat

Grafiek 2: lijnen (klik voor een grotere versie); GIF-formaat


Alexander Thomas 1998


Klik hier voor de rest van deze site (die niet veel meer met Analyse te maken heeft...)